Выводы в логике. Выводы логики высказываний. Понятие о выводах логики высказываний

Умозаключения осуществляются не только из простых, но и из сложных суждений. Довольно широко используются выводы, основаниями которых являются условные и разделительные (дизъюнктивные) высказывания. Такие высказывания сочетаются в различных комбинациях друг с другом или с категорическими суждениями. В зависимости от этого существуют различные виды выводов логики высказываний.

Понятие о выводах логики высказываний

* Выводы логики высказываний г дедуктивными опосредованными виводами. их основная особенность заключается в том, то здесь учитывается только структура сложных высказываний (молекул) и не учитывается структура высказываний, которые являются элементарными (атомы). Иначе говоря, в выводах логики высказываний рассуждение строится исключительно на логических связях между высказываниями.

Логическая схема (структура) вывода будет такой:

Аі, Аг, Ап или А, А2, Ап Ь В.

В этой структуре высказывания "А, А,..., Ап" являются основаниями, "В"- заключение.

Если конъюнкция предпосылок, соединена с выводом знаком импликации, является всегда истинной формуле (тавтологией), то такой вывод называют правильным:

(А, Л А, Л... Л А) -" - всегда истинна формула.

Если же найдется такой набор значений истинности предпосылок и вывода, при котором формула принимает значение истинности "ложь", то такой вывод называют неправильным.

Итак, правильный вывод отличается от неправильного тем, что в нем между кон"юнкцією предпосылок и заключением существует отношение логического следования.

Из приведенных характеристик вывода логики высказываний вытекает процедура проверки его правильности. Для этого достаточно:

1. Формализовать все предпосылки и вывод.

2. Составить конъюнкцию формализованных оснований и соединить их с выводом знаком импликации.

3. Построить таблицу истинности полученной формулы. Если формула является всегда истинной, то вывод правильный, если нет, то вывод неправильный.

Условно-категорические выводы

а) Чисто условные.

Чисто условным называют вывод, в котором все основания и вывод являются условными высказываниями. Например:

Если успешно состава зимнюю сессию (А), то поеду в Карпаты (В). Если поеду в Карпаты (В), то обязательно побываю на Говерле (С). Если успешно состава зимнюю сессию (А), то обязательно побываю на Говерле (С).

Структура этого вывода такова: Если А, то В. Если И. то С. Если А, то С.

Формула логики высказываний: ((А -" В) А (-4 С)) -> (А -> С).

Эта формула всегда истинна или законом логики, поскольку структура этого вывода является правильной.

Вывод в чисто условном умозаключении основывается на правиле: следствие следствия есть следствием основания.

В чисто условном выводе существуют его разновидности (модусы). К ним относится, например, такой:

Если А, то В.

Если не А. то В.

Его формула: ((А -> В) Л (~А ->)- " В. Эта формула является законом логики (тавтологией). Например:

Если состав зачет по логике, то пойду в кино. Если не сдам зачет по логике, то пойду в кино. Пойду в кино.

б) Утвердительный модус

Эту фотопленку засвечено (А).

Эта фотопленка вышла из строя (В). Структура этого вывода: Если А, то В.

Его формула:

Как видим, формула логики высказываний, отражает данную структуру вывода, является всегда истинной или законом логики. Эту структуру вывода называют стверджувальним модусом (modus ponens) условно-категорического умозаключения, поскольку в ней от утверждения основания (А) переходят к утверждению следствия (В). Можно строить достоверные умозаключения от утверждения основания к утверждению следствия. При этом основания должны быть истинными.

Построим теперь наше рассуждение так:

Если засветить фотопленку (А), то она выйдет из строя (В).

Эта фотопленка вышла из строя (В).

Эту фотопленку было засвечено (А).

структура:

Если А, то В.

Формула логики высказываний:

Как видим, эта формула не является тавтологией. Итак, мы имеем дело с неправильной структурой вывода. Это означает, что вывод по этой структурой не является необходимым, то есть он не всегда будет давать истинные выводы. Нельзя строить достоверные умозаключения от утверждения следствия к утверждению основания. Этот модус условно-категорического умозаключения называют вероятным. Он не является законом логики.

с) Отрицательный модус.

Построим наше рассуждение таким образом:

Если засветить фотопленку (А), то она выйдет из строя (В).

Эту фотопленку не было засвечено (^А).

Структура этого рассуждения такова:

Если А, то В.

Ему соответствует формула логики высказываний: ((А -" В) Л~В) -> ~А. Эта формула является законом логики или всегда истинной формулой. Это разновидность условно-категорического умозаключения называют отрицательным модусом (modus tollem). Он устанавливает, что можно строить достоверные умозаключения от отрицания следствия к отрицанию основания. Не следует забывать, что предпосылки при этом должны быть истинными.

Наше рассуждение, наконец, можно построить и таким образом:

Если засветить фотопленку (А), то она выйдет из строя (В).

Эту фотопленку не засвечено (~А).

Эта фотопленка не вышла из строя (~В).

Структура этого умозаключения является следующей:

Если А, то В.

Этой структуре соответствует следующая формула логики высказываний: ((А -> В) Л-А) -" ~В. Исходя из соображений здравого смысла, если не засвечена фотопленка, это не всегда означает ее пригодность для использования. То есть эта структура не всегда дает необходимые выводы, ибо она является неправильной. А формула, которая ей соответствует, не является законом логики. Нельзя строить достоверные умозаключения от отрицания основания к отрицанию следствия. Этот модус условно-категорического умозаключения называют вероятным.

Логика высказываний – это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать одни выражения из других на основании известных правил. Последняя называется системой натурального вывода . Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которого является элементарной формой умозаключения.

Правила вывода – это предписания или разрешения, позволяющие из суждений одной логической структуры как посылок вывести суждение некоторой логической структуры как заключение. Их особенность заключается в том, что признание истинности заключения производится на основании не содержания посылок, а их структуры.

Правила вывода записываются в виде схемы, которая состоит из двух частей (верхней и нижней), разделенных горизонтальной линией – над чертой выписываются логические схемы посылок, под ней – заключение.

Схема правил вывода:

Читается: из посылок вида
можно вывести заключение В.

Правила выводов логики высказываний делят на основные и производные.

Основные правила – более простые и очевидные.

Производные выводятся из основных. Их введение сокращает процесс вывода.

Как основные, так и производные делятся на прямые и непрямые (косвенные).

Прямые правила указывают на непосредственную выводимость некоторых суждений из других суждений.

Непрямые (косвенные) правила выводов дают возможность заключить о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов.

Основные прямые правила:

Правила введения и удаления конъюнкции (В.К.), (У.К.):

Правила введения и удаления дизъюнкции (В.Д.), (У.Д.):

Правила удаления импликации (У.И.):

Правила введения и удаления эквивалентности (В.Э.), (У.Э.):

Правила введения и удаления двойного отрицания (В.О.), (У.О.):

В.О.

Основные непрямые правила

Правила введения импликации (В.И.) и сведения к абсурду (С.А.):

В.И.

Производные правила

Правило условного силлогизма

Доказательство:

Правило «modustоllens»:

Доказательство:

Правило отрицания дизъюнкции (О.Д.):

Доказательство:

Правило отрицания конъюнкции (О.К.)

Доказательство:

Правила контрапозиции:

Доказательство:

Доказательство:

Правило сложной контрапозиции:

Доказательство:

Правило простой конструктивной дилеммы (П.К.Д.)

Доказательство:

Правило сложной конструктивной дилеммы (С.К.Д.)

Доказательство:

Правило простой деструктивной дилеммы (П.Д.Д.)

Доказательство:

Правило сложной деструктивной дилеммы (С.Д.Д.)

Доказательство:

Вопросы для повторения

Что такое отношение логического следования? Как проверить, имеет ли оно место в умозаключении?

Что такое непосредственные умозаключения и каковы их виды?

Назовите правила посылок и правила терминов простого категорического силлогизма.

Что такое метод натурального вывода?

Каковы основные прямые и непрямые правила логики суждений?

Чем отличается прогрессивный полисиллогизм от регрессивного?

Свойства основных понятий раскрываются в аксиомах - предложениях, принимаемых без доказательства.

Например, в школьной геометрии есть аксиомы: «через любые две точки можно провести прямую и только одну» или «прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».

Система аксиом любой математической теории, раскрывая свойства основных понятий, дает их определения. Такие определения называют аксиоматическими.

Доказываемые свойства понятий называют теоремами , следствиями, признаками, формулами, правилами.

Доказать теорему А В - это значит установить логическим путем, что всегда, когда выполняется свойство А , будет выполняться свойство В.

Доказательством в математике называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предложений этой последовательности по правилам логического вывода.

В основе доказательства лежит рассуждение - логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получается предложение, содержащее новое знание.

В качестве примера рассмотрим рассуждение школьника, которому надо установить отношение «меньше» между числами 7 и 8. Учащийся говорит: «7 < 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Выясним, на какие факты опирается вывод, полученный в этом рассуждении.

Таких фактов два: Первый: если число а при счете называют раньше числа b , то a < b . Второй: 7 при счете называют раньше, чем 8.

Первое предложение носит общий характер, так как содержит квантор общности - его называют общей посылкой. Второе предложение касается конкретных чисел 7 и 8 - его называют частной посылкой. Из двух посылок получен новый факт: 7 < 8, его называют заключением.

Между посылками и заключением существует определенная связь, благодаря которой они и составляют рассуждение.

Рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение следования, называют дедуктивным.

В логике вместо термина «рассуждения» чаще используется слово «умозаключение».

Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это , содержащие исходное знание.

Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

Как правило, заключение отделяется от посылок с помощью слов «следовательно», «значит». Умозаключение с посылками р 1, р 2, …, рn и заключением Р будем записывать в виде: или (р 1, р 2, …, рn) Р.

Примеры умозаключений: а) Число а = b. Число b = с . Следовательно, число а = с.

b) Если в дроби числитель меньше знаменателя, то дробь правильная. В дроби числитель меньше знаменателя (5<6) . Следовательно, дробь - правильная.

с) Если идет дождь, то на небе есть тучи. На небе есть тучи, следовательно, идет дождь.

Умозаключения могут быть правильными и неправильными.

Умозаключение называется правильным, если формула, соответствующая его структуре и представляющая собой конъюнкцию посылок, соединенная с заключением знаком импликации тождественно истинна.

Для того чтобы установить, является ли умозаключение правильным, поступают следующим образом:

1) формализуют все посылки и заключение;

2) записывают формулу, представляющую конъюнкцию посылок, соединенную знаком импликации с заключением;

3) составляют таблицу истинности для данной формулы;

4) если формула тождественно-истинна, то умозаключение правильное, если нет - то умозаключение неправильное.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных рассуждений.

Правил много, но наиболее часто используются следующие:

1. - правило заключения;

2. - правило отрицания;

3. - правило силлогизма.

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 15. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5 . Следовательно, число 135 делится на 5 ».

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение «если А(х), то В(х) », где А(х) - это «запись числа х оканчивается цифрой 5 », а В(х) - «число х делится на 5 ». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей посылки при
х = 135 (т.е. А(135) ). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 135 (т.е. В(135) ).

Приведем примерумозаключения, выполненного по правилу отрицания: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5 . Число 177 не делится на 5 . Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5 ».

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5 » (т.е. ). Заключение - это отрицание предложения «Запись числа 177 оканчивается цифрой 5 » (т.е. ).

И наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма : «Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6 , то оно кратно 3 . Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3 ».

В этом умозаключении две посылки: «если А(х), то В(х) » и «если В(х), то С(х) », где А(х) - «число х кратно 12 », В(х) - «число х кратно 6 » и С(х) - «число х кратно 3 ». Заключение представляет собой высказывание «если А(х), то С(х) ».

Проверим, правильны ли следующие умозаключения:

1) Если четырехугольник - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. АВС D - ромб. Следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Если число делится на 4 , то оно делится на 2 . Число 22 делится на 2 . Следовательно, оно делится на 4.

3) Все деревья являются растениями. Сосна - дерево. Значит, сосна - растение.

4) Все учащиеся данного класса ходили в театр. Петя не был в театре. Следовательно, Петя - учащийся не данного класса.

5) Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

Решение: 1) Для решения вопроса о правильности умозаключения выявим его логическую форму. Введем обозначения: С(х) - «четырехугольник х - ромб», В(х) - «в четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда первую посылку можно записать в виде:
С(х) В(х), вторую - С(а), а заключение В(а).

Таким образом, форма данного умозаключения такова: . Оно построено по правилу заключения. Следовательно, данное рассуждение правильное.

2) Введем обозначения: А(х) - «число х делится на 4 », В(х) - «число х делится на 2 ». Тогда первую посылку запишем: А(х) В(х), вторую В(а), а заключение - А(а). Умозаключение примет форму: .

Такой логической формы среди известных нет. Легко заметить, что обе посылки истинны, а заключение ложно.

Значит, что данное рассуждение неправильное.

3) Введем обозначения. Пусть А(х) - «если х дерево», В(х) - «х растение». Тогда посылки примут вид: А(х) В(х), А(а), а заключение В(а). Наше умозаключение построено по форме: - правила заключения.

Значит, наше рассуждение построено верно.

4) Пусть А(х) - «х - учащиеся нашего класса», В(х) - «учащиеся х ходили в театр». Тогда посылки будут следующими: А(х) В(х), , а заключение .

Данное умозаключение построено по правилу отрицания:

- значит оно верное.

5) Выявим логическую форму умозаключения. Пусть А(х) - «числитель дроби х меньше знаменателя». В(х) - «дробь х - правильная». С(х) - «дробь х меньше 1 ». Тогда посылки примут вид: А(х) В(х), В(х) С(х), а заключение А(х) С(х).

Наше умозаключение будет следующей логической формы: - правило силлогизма.

Значит, данное умозаключение верно.

В логике рассматривают различные способы проверки правильности умозаключений, среди которых анализ правильности умозаключений с помощью кругов Эйлера. Его проводят следующим образом: записывают умозаключение на теоретико-множественном языке; изображают посылки на кругах Эйлера, считая их истинными; смотрят, всегда ли при этом истинно заключение. Если да, то говорят, что умозаключение построено правильно. Если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение ложно, то говорят, что умозаключение неправильно.

Таблица 9

Покажем, что умозаключение, выполненное по правилу заключения, является дедуктивным. Сначала запишем это правило на теоретико-множественном языке.

Посылка А(х) В(х) может быть записана в виде ТА ТВ , где ТА и ТВ - множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х).

Частная посылка А(а) означает, что а ТА, а заключение В(а) показывает, что а ТВ.

Все умозаключение, построенное по правилу заключения, запишется на теоретико-множественном языке так: .

Рис. 58.

Примеры.

1. Правильно ли умозаключение «Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число 125 делится на 5. Следовательно, запись числа 125 оканчивается цифрой 5 »?

Решение: Это умозаключение выполнено по схеме , что соответствует . Такой схемы среди известных нам нет. Выясним, является ли она правилом дедуктивного умозаключения?

Воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке

полученное правило можно записать так:

. Изобразим на кругах Эйлера множества ТА и ТВ и обозначим элемент а из множества ТВ.

Оказывается, что он может содержаться в множестве ТА, а может и не принадлежать ему (рис. 59). В логике считают, что такая схема не является правилом дедуктивного умозаключения, так как не гарантирует истинности заключения.

Данное умозаключение не является правильным, так как выполнено по схеме, не гарантирующей истинности рассуждения.

Рис. 59.

б) Все глаголы отвечают на вопрос «что делать?» или «что сделать?». Слово «василек» не отвечает ни на один из этих вопросов. Следовательно, «василек» не является глаголом.

Решение: а) Запишем данное умозаключение на теоретико-множественном языке. Обозначим через А - множество студентов педагогического факультета, через В - множество студентов, являющихся учителями, через С - множество студентов, старше 20 лет.

Тогда умозаключение примет вид: .

Если изобразить данные множества на кругах, то возможно 2 случая:

1) множества А, В, С пересекаются;

2) множество В пересекается с множеством С и А, а множество А пересекается с В , но не пересекается с С.

б) Обозначим через А множество глаголов, а через В множество слов, отвечающих на вопрос «что делать?» или «что сделать?».

Тогда умозаключение можно записать в следующем виде:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 - двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».

Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна общего характера - это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая - частная, она характеризует только число 23 - оно двузначное. Заключение - это предложение, которое стоит после слова «следовательно», - также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.

Умозаключения, которые обычно используются при доказательствах теорем, основаны на понятии логического следования. При этом из определения логического следования вытекает, что при всех значениях высказывательных переменных, при которых истинны исходные высказывания (посылки), истинно и заключение теоремы. Такие умозаключения дедуктивные.

В примере, рассмотренном выше, приведенное умозаключение является дедуктивным.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 6 3 = 36, 52 = 25. Затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел a и b верно равенство ab = ba.

В данном умозаключении посылками являются первые два равенства. В них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера - переместительное свойство умножения натуральных чисел.

В данном умозаключении посылки частного характера показывают, что некоторые натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произведение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаключения называют неполной индукцией.

т.е. для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. Значит, на основании, что некоторые числа обладают данным свойством, можно сделать вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа:

Данный пример - это пример рассуждения по аналогии.

Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Часть первая. Дедуктивные и правдоподобные рассуждения

1 ГЛАВА. Предмет и задачи логики

1.1. Логика как наука

Логика относится к числу древнейших наук, первые учения которой о формах и способах рассуждений возникли еще в цивилизациях Древнего Востока (Китай, Индия). В западную культуру принципы и методы логики вошли главным образом благодаря усилиям античных греков. Развитая политическая жизнь в греческих государствах-полисах, борьба разных партий за влияние на массы свободных граждан, стремление решать возникавшие имущественные и иные конфликты через суд – все это требовало умения убеждать людей, защищать свою позицию на различных народных форумах, в государственных учреждениях, судебных заседаниях и т.п.

Искусство убеждения, ведения спора, мастерства обоснованно защищать свое мнение и возражать оппоненту в ходе спора и полемики культивировалось в рамках античной риторики, ориентированной на совершенствование ораторской речи, и эристики – специального учения о споре. Первые учителя риторики многое сделали для распространения и развития знаний о мастерстве убеждения, приемах спора и построения публичной речи, обращая особое внимание на эмоционально-психологические, нравственные и ораторские ее стороны и особенности. Однако впоследствии, когда школы риторики стали возглавлять софисты, они стремились научить своих учеников не поискам истины в ходе спора, а скорее выигрышу, победе в словесном состязании любой ценой. В этих целях широко использовались преднамеренные логические ошибки, которые в дальнейшем стали называть софизмами, а также разнообразные психологические уловки и приемы для отвлечения внимания оппонента, внушения, переключения спора с основной темы на второстепенные моменты и т.п.

Против этой тенденции в риторике решительно выступили великие античные философы Сократ, Платон и Аристотель, которые считали главным средством убеждения - обоснованность содержащихся в ораторской речи суждений, их правильную связь в процессе рассуждений, т.е. вывода одних суждений из других. Именно для анализа рассуждений и была создана Аристотелем (IV век до н.э.) первая система логики, названная силлогистикой. Она представляет собой простейшую, но вместе с тем наиболее часто используемую форму дедуктивных умозаключений, в которых заключение (вывод) получается из посылок по правилам логической дедукции. Заметим, что термин дедукция в переводе с латинского означает вывод.

Для пояснения сказанного обратимся к античному силлогизму:

Все люди смертны.

Кай – человек.____________

Следовательно, Кай смертен.

Здесь, как и в других силлогизмах, умозаключение совершается от общего знания о некотором классе предметов и явлений к знанию частному и единичному. Сразу же подчеркнем, что в других случаях дедукция может осуществляться от частного к частному или от общего к общему.

Главное, что объединяет все дедуктивные умозаключения, состоит в том, что заключение в них следует из посылок по логическим правилам вывода и имеет достоверный, объективный характер. Другими словами, заключение не зависит от воли, желаний и предпочтений рассуждающего субъекта. Если вы принимаете посылки такого умозаключения, то обязаны принять и его заключение.

Часто также заявляют, что определяющим признаком дедуктивных умозаключений является логически необходимый характер заключения, его достоверная истинность. Иначе говоря, в таких умозаключениях истинностное значение посылок полностью переносится на заключение. Вот почему дедуктивные умозаключения обладают наибольшей силой убеждения и широко применяются не только для доказательства теорем в математике, но и всюду, где необходимы достоверные заключения.

Очень часто в учебниках логика определяется как наука о законах правильного мышления или же принципах и способах правильных умозаключений. Поскольку, однако, остается неясным, какое мышление считается правильным, то в первой части определения содержится скрытая тавтология, так как неявно предполагается, что такая правильность достигается при соблюдении правил логики. Во второй части предмет логики определяется точнее, ибо главная задача логики сводится к анализу умозаключений, т.е. к выявлению способов получения одних суждений из других. Нетрудно заметить, что когда говорят о правильных умозаключениях, то неявно или даже явно имеют в виду дедуктивную логику. Именно в ней только и существуют вполне определенные правила для логического вывода заключений из посылок, с которыми мы познакомимся более детально в дальнейшем. Часто дедуктивную логику отождествляют также с формальной логикой на том основании, что последняя изучает формы умозаключений в отвлечении от конкретного содержания суждений. Такой взгляд, однако, не учитывает других способов и форм рассуждений, которые широко применяются как в опытных науках, изучающих природу, так и в социально-экономических и гуманитарных науках, опирающихся на факты и результаты общественной жизни. Да и в повседневной практике мы часто делаем обобщения и строим предположения, исходя из наблюдения частных случаев.

Рассуждения подобного рода, в которых на основе исследования и проверки каких-либо частных случаев приходят к заключению о неизученных случаях или о всех явлениях класса в целом, называют индуктивными. Термин индукция означает наведение и хорошо выражает сущность таких рассуждений. В них обычно изучаются свойства и отношения некоторого числа членов определенного класса предметов и явлений. Выявленное в результате этого общее свойство или отношение затем переносится на неисследованные члены или на весь класс полностью. Очевидно, что такое заключение не может считаться достоверно истинным, ибо среди неисследованных членов класса и тем более всего класса в целом могут оказаться члены, которые не обладают предполагаемым общим свойством. Поэтому заключения индукции имеют не достоверный, а лишь вероятностный характер. Часто такие заключения называют также правдоподобными, гипотетическими или предположительными, так как они не гарантируют достижение истины, а лишь наводят на нее. Они имеют эвристический (поисковый), а не достоверный характер, помогая искать истину, а не доказывать ее. Наряду с индуктивными рассуждениями сюда относят также выводы по аналогии и статистические обобщения.

Отличительная особенность подобных недедуктивных рассуждений состоит в том, что в них заключение не следует логически, т.е. по правилам дедукции, из посылок. Посылки лишь с той или иной степенью подтверждают заключение, делают его более или менее вероятным или правдоподобным, но не гарантируют его достоверной истинности. На этом основании вероятностные рассуждения иногда явно недооцениваются, считаются второстепенными, вспомогательными и даже исключаются из логики.

Такое отношение к недедуктивной и, в частности к индуктивной логике объясняется в основном следующими причинами:

Во-первых, – и это главное – проблематический, вероятностный характер индуктивных заключений и связанная с ним зависимость результатов от имеющихся данных, неотделимость от посылок, незавершенность заключений. Ведь с получением новых данных меняется и вероятность таких выводов.

Во-вторых, наличие субъективных моментов в оценке вероятностного логического отношения между посылками и заключением рассуждения. Одному эти посылки, например факты и свидетельства, могут показаться убедительными, другому – нет. Один считает, что они достаточно сильно подтверждают заключение, другой придерживается противоположного мнения. Подобных разногласий не возникает при дедуктивном выводе.

В-третьих, такое отношение к индукции объясняется также историческими обстоятельствами. Когда впервые возникла индуктивная логика, то ее создатели, в частности Ф. Бэкон, верили, что с помощью ее канонов, или правил, можно открывать новые истины в опытных науках чуть ли не чисто механическим путем. "Наш же путь открытия наук, – писал он, – немногое оставляет остроте и силе дарования, но почти уравнивает их. Подобно тому как для проведения прямой или описания совершенного круга много значат твердость, умелость и испытанность руки, если действовать только рукой, – мало или совсем ничего не значит, если пользоваться циркулем и линейкой. Так обстоит и с нашим методом". Говоря современным языком, творцы индуктивной логики рассматривали свои каноны как алгоритмы открытия. С развитием науки становилось все более очевидным, что с помощью таких правил (или алгоритмов) можно открывать лишь простейшие эмпирические связи между наблюдаемыми на опыте явлениями и характеризующими их величинами. Открытие же сложных связей и глубоких теоретических законов требовали использования всех средств и методов эмпирического и теоретического исследования, максимального применения психических и интеллектуальных способностей ученых, их опыта, интуиции и таланта. А это не могло не породить негативного отношения к механическому подходу к открытию, существовавшему раньше в индуктивной логике.

В-четвертых, расширение форм дедуктивных умозаключений, появление логики отношений и, в особенности, применение математических методов для анализа дедукции, которое завершилось созданием символической (или математической) логики во многом способствовало выдвижению на первый план именно дедуктивной логики.

Все это делает понятным, почему нередко предпочитают определять логику как науку о способах, правилах и законах дедуктивных умозаключений или как теорию логического вывода. Но нельзя забывать, что индукция, аналогия и статистика являются важными способами эвристического поиска истины, а потому они служат рациональными методами рассуждений. Ведь поиск истины можно вести наудачу, путем проб и ошибок, но такой способ крайне неэффективен, хотя иногда и используется. Наука к нему прибегает весьма редко, поскольку она ориентируется на поиск организованный, целенаправленный и системный.

Надо также учитывать, что общие истины (эмпирические и теоретические законы, принципы, гипотезы и обобщения), которые используются как посылки дедуктивных умозаключений, невозможно установить дедуктивно. Но нам могут возразить, что они не открываются и индуктивно. Тем не менее поскольку индуктивные рассуждения ориентируются на поиск истины, то они оказываются более полезным эвристическим средством исследования. Разумеется, в ходе проверки предположений и гипотез используется и дедукция, в частности для вывода следствий из них. Поэтому нельзя противопоставлять дедукцию индукции, поскольку в реальном процессе научного познания они предполагают и дополняют друг друга.

Следовательно логику можно определить как науку о рациональных методах рассуждений, которые охватывают как анализ правил дедукции (вывода заключений из посылок), так и исследование степени подтверждения вероятностных или правдоподобных заключений (гипотез, обобщений, предположений и т.д.).

Традиционная логика, которая сформировалась на основе логического учения Аристотеля, дополнилась в дальнейшем методами индуктивной логики, сформулированными Ф. Бэконом и систематизированными Дж.С. Миллем. Именно эта логика в течение долгого времени преподавалась в школах и университетах под именем формальной логики.

Возникновение математической логики коренным образом изменило отношение между дедуктивной и недедуктивной логиками, которое существовало в традиционной логике. Это изменение было сделано в пользу дедукции. Благодаря символизации и применению математических методов сама дедуктивная логика приобрела строго формальный характер. По сути дела, такую логику вполне правомерно рассматривать как математическую модель дедуктивных умозаключений. Нередко поэтому ее считают современной ступенью развития формальной логики, но забывают при этом добавить, что речь идет о дедуктивной логике.

Нередко также говорят, что математическая логика сводит процесс рассуждения к построению различных систем исчислений и тем самым заменяет естественный процесс мышления вычислениями. Однако модель всегда связана с упрощениями, поэтому она не может заменить оригинал. Действительно, математическая логика ориентируется прежде всего на математические доказательства, следовательно, абстрагируется от характера посылок (или аргументов), их обоснованности и приемлемости. Она считает такие посылки заданными или ранее доказанными.

Между тем в реальном процессе рассуждения, в споре, дискуссии, полемике анализ и оценка посылок приобретает особо важное значение. В ходе аргументации приходится выдвигать определенные тезисы и утверждения, находить убедительные доводы в их защиту, исправлять и дополнять их, приводить контраргументы и т.д. Здесь приходится обращаться уже к неформальным и недедуктивным способам рассуждений, в частности к индуктивному обобщению фактов, выводам по аналогии, статистическому анализу и т.д.

Рассматривая логику как науку о рациональных способах рассуждений, мы не должны забывать о других формах мышления – понятиях и суждениях, с освещения которых начинается любой учебник логики. Но суждения и тем более понятия играют вспомогательную роль в логике. С их помощью становится более ясной структура умозаключений, связь суждений в различных видах рассуждений. Понятия же входят в структуру любого суждения в виде субъекта, т. е. предмета мысли, и предиката – как признака, характеризующего субъект, а именно утверждающего наличие или отсутствие у предмета мысли определенного свойства. В нашем изложении мы придерживаемся общепринятой традиции и начинаем обсуждение с анализа понятий и суждений, а затем более подробно освещаем дедуктивные и недедуктивные способы рассуждений. В главе, где анализируются суждения, рассматриваются элементы исчисления высказываний, с которых обычно открывается любой курс математической логики.

Элементы логики предикатов освещаются в следующей главе, где в качестве частного случая рассматривается теория категорического силлогизма. Современные формы недедуктивных рассуждений нельзя, очевидно, понять без четкого разграничения логической и статистической интерпретации вероятности, поскольку под вероятностью подразумевается чаще всего как раз ее статистическое истолкование, которое имеет вспомогательное значение в логике. В связи с этим в главе, посвященной вероятностным рассуждениям, мы специально останавливаемся на выяснении различия между двумя интерпретациями вероятности и более подробно разъясняем особенности логической вероятности.

Таким образом, весь характер изложения в книге ориентирует читателя на то, что дедукция и индукция, достоверность и вероятность, движение мысли от общего к частному и от частного к общему не исключают, а скорее дополняют друг друга в общем процессе рационального рассуждения, направленного как на поиск истины, так и ее доказательство.